Une des caractéristiques les plus importantes des écoulements turbulents pariétaux est le profil logarithmique de la vitesse moyenne ou loi de paroi.
Cette expression simple, établie par von Kármán et Prandtl, repose sur l’hypothèse d’une contrainte de cisaillement constante ; ce qui suppose un nombre de Reynolds infini.
$$\overline{U}^+=\frac{1}{\kappa}\ln y^++A.$$
$\overline{U}^+$ est la vitesse moyenne de l’écoulement, normalisée par la vitesse de frottement $u_f=\sqrt{\tau_p/\rho}$ avec $\tau_p=d\overline{U}/dy\left|_{y=0}\right.$ la contrainte moyenne à la paroi. $\kappa$ est la constante de Kármán, supposée indépendante du type d’écoulement (confiné ou semi-confiné). $y^+$ est la distance à la paroi, normalisée par $u_f$ et $\nu$ : $y^+=y u_f/\nu$. $A$ une constante pouvant varier d’un écoulement à l’autre.
Son utilisation sous cette forme pour représenter les profils de vitesse dans des écoulements à des nombres de Reynolds finis, a engendré une grande dispersion pour la valeur de $\kappa$, qui varie entre 0.38 et 0.41.
L’ analyse dimensionnelle réalisée dans cette étude a permis d’introduire l’effet du nombre de Reynolds dans la loi logarithmique et d’obtenir une loi asymptotique identique pour les trois écoulements canoniques : canal plan, conduite cylindrique et couche limite sans gradient de pression, avec $\kappa=0.4$ et $A=4.84$.
